最近看一部物理书，里面讲到一些关于引力的问题。涉及到不少和圆、球相关的计算。好久都没有做过基本的积分计算了，把一些结果和推导总结在这里。
首先是关于常数\(\pi\)的定义。数学上我们接触到\(\pi\)最开始是圆周率的概念，它是圆周长和直径的比率：若一个圆的半径是\(r\)，直径\(d=2r\)，周长为\(C\)，那么圆周率\(\pi\)定义为
\[\pi = \frac{C}{d} = \frac{C}{2r}\]这个式子是常数\(\pi\)的一种定义，但它同时也反映了一个并没有那么简单的规律，那就是：一个圆，不管它有多大，它的周长和半径（或者直径，这里只用半径因为直径就是半径的2倍）的比率是一个固定的常数！为什么圆的周长和半径的比率是一个常数呢？这周长和半径说到底是两个不同的量，他们之间竟然有这么简单的线性关系，其实想想还挺奇妙的。
要证明这一点，可以从圆的定义出发，在二维平面上到一个定点距离相同的点构成一个圆。以圆心为原点，半径为\(r\)的圆上的点\((x, y)\)满足
\[x^2 + y^2 = r^2\]要计算半径为\(r\)的圆的周长\(C\)，我们可以将圆分段，在每一个圆上的点\((x, y)\)附近都有一小段，然后把所有的小段加起来，就得到圆的周长。具体而言，考虑圆上一点\((x, y)\)横坐标从\(x\)变为\(x+dx\)这一段区间对应的圆弧\(ds\)，很明显\(ds\)是和圆心到\((x, y)\)的半径相垂直的，因为相似三角形的关系，我们可以得到
\[\frac{dx}{ds} = \frac{y}{r}\]那么
\[ds = \frac{r}{y}dx\]对称的，在\((x, -y)\)处的一小段圆弧有跟\(ds\)相等的长度，因而把所有的小段圆弧加起来，我们得到圆的周长为
\[C = \int_{-r}^r 2\frac{r}{y} dx = 2\int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx = 2 \int_{-r}^{r} \frac{1}{\sqrt{1 - (x/r)^2}}dx\]取一个新的变量\(u=x/r\)，那么\(dx=rdu\)上述积分变为
\[C = 2r\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du\]现在可以看到，圆周长\(C\)和半径\(r\)确实有一个线性关系，他们的比率为
\[\frac{C}{r} = 2\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}du\]是一个和\(r\)和\(C\)都无关的常数。如果将右边的积分项取名为\(\pi\)，那我们就有
\[\pi = \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du\]从而
\[\frac{C}{r} = 2\pi, \qquad C = 2\pi r\]得到我们熟悉的圆周公式。
这个线性关系还可以由相似三角形的关系出发直观的得到，假定有两个同心圆，半径分别为\(r\)和\(r'\)，考虑从圆心射出的两条靠的很近的射线在两个圆上切出的两个小扇形。这两个扇形的半径和弦构成的三角形是相似的，因而弦长的比例也就等于半径的比例\(r'/r\)。用类似的方法可以把整个圆切成若干扇形，得到所有扇形的弦长总和的比例也同样是\(r'/r\)。如果无限细分，则弦长的总和就等于圆周长，因而同心圆的周长之比\(C'/C = r'/r\)，从而\(C'/r' = C/r\)。这个等式对于任何的\(r'\)都成立，所以对于任何半径的圆，其周长和半径的比例都是一个常数，这个常数就是\(2\pi\)。
用类似的推理，可以得出同样的角度对应的弧长和半径的比例也和圆的半径无关，因此弧长和半径的比例也可以用来定义一个角度。如果用\(\theta\)表示一个角度，对应的弧长为\(l\)，则\(\theta = l/r\)，对应一整个圆的角度为\(C/r = 2\pi r / r = 2\pi\)。
接下来，我们计算半径为\(r\)的圆的面积。圆面积的计算可以有很多种方式，我们这里考虑一个角度为\(d\theta\)的小扇形的面积，这个扇形的面积可以用三角形近似，其底边也就等于弧长或弦长，为\(rd\theta\)，三角形的高为\(r\)，因而扇形的面积为
\[dA = \frac{1}{2}r \cdot rd\theta\]将所有扇形的面积加起来，得到圆的面积为
\[A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 d\theta = \frac{1}{2} r^2 (2\pi) = \pi r^2.\]如果我们只需要一个扇形的面积，则改变积分的上下限，可得对应角度为\(\theta\)的扇形面积为\(\frac{1}{2}r^2 \theta\)。
圆形在三维空间对应为球面。周长和面积对应增加一个维度，成为表面积和体积。对于半径为\(r\)的球面，首先我们来计算它的表面积。球面上的点\((x, y, z)\)满足
\[x^2 + y^2 + z^2 = r^2.\]考虑在某一个特定的横坐标\(x\)处，从\(x\)至\(x + dx\)的区间会在球面上切除一个圆环，这个环的半径为\(y = \sqrt{r^2 - x^2}\)，周长为\(C = 2\pi y\)。环带的宽度并非\(dx\)，因为它有一个倾斜的角度。考虑\(z=0\)的切面，可以看到环带的宽度就是上面计算圆周长时得到的\(ds = \frac{r}{y}dx\)。从而环带的表面积为
\[dA = 2\pi y \cdot \frac{r}{y}dx = 2\pi r dx\]将所有环带的面积加起来，得到球的表面积为
\[A = \int_{-r}^r 2\pi r dx = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2.\]这里可得对于任何的球面，其球面积和半径的平方\(r^2\)成正比，比例为常数\(4\pi\)，因而也可以类似地定义球面角，整个球面的球面角为\(4\pi\)。
最后计算球的体积，同样考虑从\(x\)至\(x+dx\)区间切出的圆盘，这个圆盘的底面积为\(\pi y^2 = \pi (r^2 - x^2)\)，高为\(dx\)，因而体积为
\[dV = \pi (r^2 - x^2) dx\]将所有圆盘的体积加起来，得到球的体积为
\[V = \int_{-r}^r \pi (r^2 - x^2) dx = \pi r^2 (2r) - \pi \frac{1}{3}x^3\vert_{-r}^r = 2\pi r^3 - \frac{2}{3}r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.\]